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Teoría

Proporcionalidad numérica

Una magnitud es cualquier cualidad que se puede medir. Por ejemplo: la altura de una persona, el precio de un artículo, el número de alumnos, etc.

Magnitudes directamente proporcionales

Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando:

  • Al aumentar una el doble, el triple, … la otra también aumenta el doble, triple, …
  • Al disminuir una a la mitad, a la tercera parte, … la otra también disminuye a la mitad, a la tercera parte…

Ejemplo

Una entrada del cine cuesta 4€, 2 entradas 8€, 3 entradas 12€, …

Las magnitudes que intervienen son el número de entradas y el precio:

 

Precio

4

8

12

16

20

Nº Entradas

1

2

3

4

5

 

Podemos observar que al multiplicar una magnitud por un número la otra se incrementa en la misma proporción.

En las magnitudes directamente proporcionales se cumple que al dividir los valores de una magnitud entre los de la otra el valor que se obtiene es constante (es siempre el mismo). A dicha constante se la llama constante de proporcionalidad:

4/1=8/2=12/3=4

O al revés:

¼=2/8=3/12=0,25

 

Notar que la constante de proporcionalidad corresponde a valor de la unidad de la segunda magnitud.

De acuerdo a lo anterior. los valores de la segunda magnitud se obtienen multiplicando el valor correspondiente de la primera por la constante de proporcionalidad.

Reducción a la unidad

Consiste en hallar el valor de una magnitud correspondiente a la unidad de la otra.

Ejemplo

Un tunel de lavado lava 10 coche en 60 minutos ¿ Cuánto tiempo le costará lavar 25 coches?

Si 10 coches se lavan en 60 minutos, tenemos que 1 coche se lavará en 60/10= 10 minutos.

Luego 25 coches se lavarán en 25*10=250 minutos.

Si lo vemos en una tabla:

Tiempo

60/10=10 minutos

60 minutos

25x10= 210 minutos

Nº de coches

1

10

25

 

¿Y cuántos coches se lavarán en 7,5 horas

Si 10 coches se lavan en 60 minutos (1 hora).

Por lo tanto en 7,5 lavaremos 7,5*10=75 coches

 

Regla de tres directa

Tres cajas de clavos pesan 18 kg ¿Cuánto pesan 5 cajas?

 

3 cajas -------> 18kg

4 cajas ---------> x

( Se lee: “Si tres cajas pesan 18 Kg entonces 4 cajas pesarán x”)

 

Al ser directamente proporcionales: 3/4=18/x → 3x=18*4 → 3x=72 → x=72/3= 24 kg

 

Abreviadamente podemos observar que es una multiplicación en cruz:

3x=18*4 → 3x=72 → x=72/3= 24 kg

 

La regla de tres la podríamos sustituir perfectamente por la tabla:

 

Nº Cajas

3

4

Peso

18 kg

x

 

Y tenemos 3/4=18/x → 3x=18*4 → 3x=72 → x=72/3= 24 kg

 

Magnitudes inversamente proporcionales

Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando:

  • Al aumentar una el doble, el triple, … la otra disminuye a la mitad, a la tercera parte…
  • Al disminuir una a la mitad, a la tercera parte, … la otra aumenta el doble, el triple, …

Ejemplo

Un grifo que vierte 5 litros de agua por minuto le cuesta llenar un tonel 15 minutos. Si vertiera 15 litros le costaría 3 minutos, si vertiera 3 litros le costaría 25 minutos, …

 

Litros

1

3

5

10

15

tiempo

75

25

15

7,5

5

 

Podemos observar que la multiplicar una magnitud por un número la otra magnitud se divide por el mismo número. Por ejemplo si pasamos de 3 litros a 15 multiplicando por 5, el tiempo pasa de 25 a 5 dividiendo por 5.

En las magnitudes inversamente proporcionales e cumple que si multiplicamos las magnitudes el valor que se obtiene es siempre el mismo, la llamada constante de proporcionalidad:

3*25=5*15=10*7,5=75

Notar que la constante de proporcionalidad corresponde al valor de la unidad de cualquiera de las dos magnitudes.

 

Reducción a la unidad (inversamente proporcionales)

Calcular el valor que le corresponde a la unidad y para obtener los valores se divide el valor de la unidad por el correspondiente a la que queremos calcular.

 

Ejemplo

Tres pintores pintan una pared en 6 días. ¿Cuántos días les costará a 6 pintores?

Sacamos el tiempo que le costará a un obrero: 3*6= 18 días

Luego a 6 obreros es 18/6= 3 días.

 

¿Cuántos obreros se necesitan para acabar en 2 días?

En un día necesitamos 3*6= 18 obreros.

Luego en dos días: 18/2= 9 obreros.

 

Regla de tres inversa

Dos albañiles tardan en hacer un muro 50 días ¿Cuántos albañiles necesitamos para acabar la obra en 20 días.

 

2 albañiles -------> 50 días

x --------- > 20 días

( Se lee: “Si dos albañiles tardan 30 días, x albañiles tardarán 20 días”)

Al ser inversamente proporcionales se cumple:

2*50=20x → 100=20x → x=100/20 → x= 5 albañiles

Notar que se multiplica en paralelo

 

 

Porcentajes

El tanto por ciento de una cantidad es tomar de cada 100 partes, el número de partes que indica el tanto. Se expresa con el signo %

Por ejemplo: el 15% es coger de 100 partes 15.

Para calcular el % de una cantidad se multiplica por el tanto y se divide por 100

Ejemplos

20% de 75 es 20*75/10=150/10=15

45% de 200 es 45*200/100=9000/100=90

 

Podemos comprobar que el 15% equivale a 15/100 que es 0,15. Por lo tanto para calcular el 15% de 75 podemos hacer 75*0,15=15

Ejemplos:

20% de 70 es 70*02=14

8% de 1600 es 1600 *0,08=128